Correction des exercices : somme et sev engendrés
Correction des exercices : somme et sev engendrés
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Contenu du cours
Correction de l'exercice 1
On cherche s'il existe $3$ réels $a, b \textrm{ et } c \textrm{ tels que } u = av+ bw + cz$, c'est-à-dire
$\left\{\begin{array}{l} 7=2a-b,\\-17=-a-7c,\\15=3b+9c,\\17=3a-4b+2c. \end{array} \right.$
On obtient
$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=-1,\\c=2. \end{array}\right.$
On en déduit que $u$ appartient à Vect$(\{v, w, z \})$.
Correction de l'exercice 2
$(x, y, z) \in \textrm{Vect}(\{u, v \}) \Longleftrightarrow \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}$, $\left\{\begin{array}{l} x=\alpha+3\beta,\\y=2\alpha+2\beta,\\ z=3\alpha+\beta.\end{array}\right.$, ce qui est équivalent à
$\exists (\alpha, \beta) \in\mathbb{R}^{2}, \left\{ \begin{array}{l} -x+y+z=4\alpha\\x+y-z=4\beta\\x=\alpha+3\beta, \end{array}\right.$
ce qui est équivaut à $\exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}, \left\{\begin{array}{l}\alpha=\frac{1}{4}(-x+y+z)\\\beta=\frac{1}{4}(x+y-z)\\x=\alpha+3\beta \end{array}\right.$
D'où $x= \frac{1}{4}(-x + y +z) + \frac{3}{4}(x + y -z)$. Ainsi $x - 2y + z = 0$.
Correction de l'exercice 3
Il est clair que $F$ est non vide, car il contient la fonction nulle, et que $F$ est inclus dans $E$.
Grâce à la linéarité de l'intégrale, on montre facilement que toute combinaison linéaire de deux éléments de $F$ appartient à $F$.
Soit $f \in E$. $\forall x \in\mathbb{R}, f(x) = \left(f(x)-\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt\right)+ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt$.
Notons $\forall x \in\mathbb{R}, g(x) = f(x) - \displaystyle\int_{0}^{1} f(t)dt$.
A l'aide de la linéarité de l'intégrale, on montre facilement que $g \in F$.
Notons $\forall x \in \mathbb{R}, h(x) = \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt$. La fonction $h$ est constante et on a $f=g+h$ .
Notons $G$ l'ensemble des fonctions constantes sur $\mathbb{R}$.
$G$ est un sev de $E$ et $E = F + G$.
De plus, on montre facilement que $F \cap G = \{0_{E} \}$.
Ceci prouve que $G$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$.